k এর মান কত হলে kx2 + 3x + 4 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?
একটি রাশি পূর্ণবর্গ হবে যদি তার নিশ্চায়ক (discriminant) শূন্য হয়। দ্বিঘাত রাশি ax2 + bx + c এর নিশ্চায়ক হলো b2 - 4ac।
এখানে, রাশিটি হলো kx2 + 3x + 4। সুতরাং, a = k, b = 3, এবং c = 4।
নিশ্চায়ক শূন্য হলে:
b2 - 4ac = 0
(3)2 - 4(k)(4) = 0
9 - 16k = 0
16k = 9
k = 9/16
কিন্তু প্রশ্নটি একটু ভিন্নভাবে করা হয়েছে। যদি রাশিটি পূর্ণবর্গ হয়, তবে এটি (px + q)2 বা (px - q)2 আকারে প্রকাশ করা যাবে।
kx2 + 3x + 4 কে পূর্ণবর্গ হতে হলে, x2 এর সহগ k এমন হতে হবে যেন পুরো রাশিটি একটি পারফেক্ট স্কয়ার হয়।
যদি আমরা এটিকে (Ax + B)2 = A2x2 + 2ABx + B2 এর সাথে তুলনা করি:
A2 = k
2AB = 3
B2 = 4
B = ±2
যদি B = 2 হয়, তবে 2A(2) = 3 => 4A = 3 => A = 3/4।
তাহলে, k = A2 = (3/4)2 = 9/16।
যদি B = -2 হয়, তবে 2A(-2) = 3 => -4A = 3 => A = -3/4।
তাহলে, k = A2 = (-3/4)2 = 9/16।
সুতরাং, k এর মান 9/16 হলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।
তবে, প্রশ্নে প্রদত্ত বিকল্পগুলিতে 9/16 নেই। বিকল্পগুলি দেখে মনে হচ্ছে প্রশ্নটি আসলে 4x2 + 3x + k বা kx2 + 4x + 3 ধরণের কিছু হতে পারে, অথবা প্রশ্নটি ax2 + bx + c এর নিশ্চায়ক শূন্য হওয়ার শর্তের উপর ভিত্তি করে তৈরি, যেখানে k অন্য কোনো স্থানে আছে।
যদি প্রশ্নটি এমন হয়: 4x2 + 3x + k রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?
a = 4, b = 3, c = k
b2 - 4ac = 0
(3)2 - 4(4)(k) = 0
9 - 16k = 0
16k = 9
k = 9/16
যদি প্রশ্নটি এমন হয়: kx2 + 4x + 3 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?
a = k, b = 4, c = 3
b2 - 4ac = 0
(4)2 - 4(k)(3) = 0
16 - 12k = 0
12k = 16
k = 16/12 = 4/3
যদি প্রশ্নটি এমন হয়: 3x2 + kx + 4 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?
a = 3, b = k, c = 4
b2 - 4ac = 0
(k)2 - 4(3)(4) = 0
k2 - 48 = 0
k2 = 48
k = ±√48 = ±4√3
যদি প্রশ্নটি এমন হয়: 4x2 + kx + 3 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?
a = 4, b = k, c = 3
b2 - 4ac = 0
(k)2 - 4(4)(3) = 0
k2 - 48 = 0
k2 = 48
k = ±√48 = ±4√3
যদি প্রশ্নটি এমন হয়: 3x2 + 4x + k রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?
a = 3, b = 4, c = k
b2 - 4ac = 0
(4)2 - 4(3)(k) = 0
16 - 12k = 0
12k = 16
k = 16/12 = 4/3
যদি প্রশ্নটি এমন হয়: kx2 + 3x + 4 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে এবং k এর মান ঋণাত্মক হবে?
a = k, b = 3, c = 4
b2 - 4ac = 0
(3)2 - 4(k)(4) = 0
9 - 16k = 0
16k = 9
k = 9/16 (এটি ধনাত্মক)
যদি প্রশ্নটি এমন হয়: 4x2 + 3x + k রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে এবং k এর মান ঋণাত্মক হবে?
a = 4, b = 3, c = k
b2 - 4ac = 0
(3)2 - 4(4)(k) = 0
9 - 16k = 0
16k = 9
k = 9/16 (এটি ধনাত্মক)
যদি প্রশ্নটি এমন হয়: kx2 + 3x - 4 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?
a = k, b = 3, c = -4
b2 - 4ac = 0
(3)2 - 4(k)(-4) = 0
9 + 16k = 0
16k = -9
k = -9/16
এই ক্ষেত্রে, k এর মান -9/16 হবে, যা বিকল্প (খ) এর সাথে মিলে যায়।
সুতরাং, ধরে নেওয়া হচ্ছে প্রশ্নটি আসলে kx2 + 3x - 4 রাশিটির পূর্ণবর্গ হওয়ার শর্ত জানতে চেয়েছে, অথবা প্রশ্নে একটি মুদ্রণ ত্রুটি রয়েছে।
প্রদত্ত বিকল্পগুলির মধ্যে, k = -9/16 হলে kx2 + 3x - 4 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।
দ্বিঘাত রাশি ax2 + bx + c পূর্ণবর্গ হওয়ার শর্ত হলো এর নিশ্চায়ক (Discriminant) শূন্য হওয়া। নিশ্চায়ক D = b2 - 4ac। সুতরাং, b2 - 4ac = 0।
এই সূত্রটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয়েও ব্যবহৃত হয়:
- যদি
D > 0হয়, তবে মূল দুটি বাস্তব ও ভিন্ন। - যদি
D = 0হয়, তবে মূল দুটি বাস্তব ও সমান (অর্থাৎ রাশিটি পূর্ণবর্গ)। - যদি
D < 0হয়, তবে মূল দুটি কাল্পনিক বা জটিল।
ঐতিহাসিক প্রেক্ষাপট:
নিশ্চায়ক ধারণাটি গণিতবিদ ও আবিষ্কারক ওমর খৈয়াম (Omar Khayyam) এবং পরবর্তীতে গটফ্রিড উইলহেম লিবনিজ (Gottfried Wilhelm Leibniz) ও লিওনহার্ড অয়লার (Leonhard Euler) এর কাজের সাথে সম্পর্কিত। তবে, দ্বিঘাত সমীকরণের মূল নির্ণয়ের সূত্র এবং নিশ্চায়কের ধারণা ভারতীয় গণিতবিদদের দ্বারাও বিকশিত হয়েছিল, যেমন ব্রহ্মগুপ্ত (Brahmagupta)।
পরীক্ষার জন্য গুরুত্বপূর্ণ:
এই ধরণের প্রশ্ন প্রায়শই BCS, ব্যাংক জব এবং অন্যান্য প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় আসে। প্রশ্নটি ভালোভাবে পড়ে সহগগুলো (coefficients) সঠিকভাবে চিহ্নিত করা জরুরি। অনেক সময় প্রশ্নে মুদ্রণ ত্রুটি থাকতে পারে, যেমনটি এই প্রশ্নে দেখা যাচ্ছে। বিকল্পগুলো দেখে মূল প্রশ্নটি অনুমান করার দক্ষতাও এখানে প্রয়োজন।
মনে রাখার জন্য:
পূর্ণবর্গ = নিশ্চায়ক শূন্য = b2 = 4ac।