চাকরির পরীক্ষার প্রশ্ন সমাধান

'তিমির' একটি তৎসম বা সংস্কৃত শব্দ যার আক্ষরিক অর্থ হলো অন্ধকার বা তমসা। বিসিএস এবং ব্যাংক নিয়োগ পরীক্ষায় সমার্থক শব্দ হিসেবে এটি প্রায়ই আসে।

মোতাহের হোসেন চৌধুরী রচিত 'শিক্ষা ও মনুষ্যত্ব' প্রবন্ধে মানবজীবনের প্রকৃত মূল্যবোধ সৃষ্টির প্রধান উপায় হলো শিক্ষা। শিক্ষা মানুষকে অন্ন-বস্ত্রের সমস্যার পাশাপাশি মুক্তির পথ দেখায় এবং মনুষ্যত্ব অর্জন ও জীবনকে উন্নত করতে সাহায্য করে।

একটি রাশি পূর্ণবর্গ হবে যদি তার নিশ্চায়ক (discriminant) শূন্য হয়। দ্বিঘাত রাশি ax2 + bx + c এর নিশ্চায়ক হলো b2 - 4ac।

এখানে, রাশিটি হলো kx2 + 3x + 4। সুতরাং, a = k, b = 3, এবং c = 4।

নিশ্চায়ক শূন্য হলে:

b2 - 4ac = 0

(3)2 - 4(k)(4) = 0

9 - 16k = 0

16k = 9

k = 9/16

কিন্তু প্রশ্নটি একটু ভিন্নভাবে করা হয়েছে। যদি রাশিটি পূর্ণবর্গ হয়, তবে এটি (px + q)2 বা (px - q)2 আকারে প্রকাশ করা যাবে।

kx2 + 3x + 4 কে পূর্ণবর্গ হতে হলে, x2 এর সহগ k এমন হতে হবে যেন পুরো রাশিটি একটি পারফেক্ট স্কয়ার হয়।

যদি আমরা এটিকে (Ax + B)2 = A2x2 + 2ABx + B2 এর সাথে তুলনা করি:

A2 = k

2AB = 3

B2 = 4

B = ±2

যদি B = 2 হয়, তবে 2A(2) = 3 => 4A = 3 => A = 3/4।

তাহলে, k = A2 = (3/4)2 = 9/16।

যদি B = -2 হয়, তবে 2A(-2) = 3 => -4A = 3 => A = -3/4।

তাহলে, k = A2 = (-3/4)2 = 9/16।

সুতরাং, k এর মান 9/16 হলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।

তবে, প্রশ্নে প্রদত্ত বিকল্পগুলিতে 9/16 নেই। বিকল্পগুলি দেখে মনে হচ্ছে প্রশ্নটি আসলে 4x2 + 3x + k বা kx2 + 4x + 3 ধরণের কিছু হতে পারে, অথবা প্রশ্নটি ax2 + bx + c এর নিশ্চায়ক শূন্য হওয়ার শর্তের উপর ভিত্তি করে তৈরি, যেখানে k অন্য কোনো স্থানে আছে।

যদি প্রশ্নটি এমন হয়: 4x2 + 3x + k রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?

a = 4, b = 3, c = k

b2 - 4ac = 0

(3)2 - 4(4)(k) = 0

9 - 16k = 0

16k = 9

k = 9/16

যদি প্রশ্নটি এমন হয়: kx2 + 4x + 3 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?

a = k, b = 4, c = 3

b2 - 4ac = 0

(4)2 - 4(k)(3) = 0

16 - 12k = 0

12k = 16

k = 16/12 = 4/3

যদি প্রশ্নটি এমন হয়: 3x2 + kx + 4 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?

a = 3, b = k, c = 4

b2 - 4ac = 0

(k)2 - 4(3)(4) = 0

k2 - 48 = 0

k2 = 48

k = ±√48 = ±4√3

যদি প্রশ্নটি এমন হয়: 4x2 + kx + 3 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?

a = 4, b = k, c = 3

b2 - 4ac = 0

(k)2 - 4(4)(3) = 0

k2 - 48 = 0

k2 = 48

k = ±√48 = ±4√3

যদি প্রশ্নটি এমন হয়: 3x2 + 4x + k রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?

a = 3, b = 4, c = k

b2 - 4ac = 0

(4)2 - 4(3)(k) = 0

16 - 12k = 0

12k = 16

k = 16/12 = 4/3

যদি প্রশ্নটি এমন হয়: kx2 + 3x + 4 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে এবং k এর মান ঋণাত্মক হবে?

a = k, b = 3, c = 4

b2 - 4ac = 0

(3)2 - 4(k)(4) = 0

9 - 16k = 0

16k = 9

k = 9/16 (এটি ধনাত্মক)

যদি প্রশ্নটি এমন হয়: 4x2 + 3x + k রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে এবং k এর মান ঋণাত্মক হবে?

a = 4, b = 3, c = k

b2 - 4ac = 0

(3)2 - 4(4)(k) = 0

9 - 16k = 0

16k = 9

k = 9/16 (এটি ধনাত্মক)

যদি প্রশ্নটি এমন হয়: kx2 + 3x - 4 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?

a = k, b = 3, c = -4

b2 - 4ac = 0

(3)2 - 4(k)(-4) = 0

9 + 16k = 0

16k = -9

k = -9/16

এই ক্ষেত্রে, k এর মান -9/16 হবে, যা বিকল্প (খ) এর সাথে মিলে যায়।

সুতরাং, ধরে নেওয়া হচ্ছে প্রশ্নটি আসলে kx2 + 3x - 4 রাশিটির পূর্ণবর্গ হওয়ার শর্ত জানতে চেয়েছে, অথবা প্রশ্নে একটি মুদ্রণ ত্রুটি রয়েছে।

প্রদত্ত বিকল্পগুলির মধ্যে, k = -9/16 হলে kx2 + 3x - 4 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।

দেওয়া আছে, $x : y = 4 : 3$
এবং $y : z = 5 : 4$
অনুপাত দুটিকে একত্র করতে হবে।
$x : y = 4 : 3 = (4 \times 5) : (3 \times 5) = 20 : 15$
$y : z = 5 : 4 = (5 \times 3) : (4 \times 3) = 15 : 12$
অতএব, $x : y : z = 20 : 15 : 12$
ধরি, $x = 20k$, $y = 15k$, $z = 12k$
দেওয়া আছে, $x = 200$
সুতরাং, $20k = 200 \Rightarrow k = 10$
তাহলে, $z = 12k = 12 \times 10 = 120$

প্রথম সরলরেখা: $x - 2y - 10 = 0$
এটিকে $y = mx + c$ আকারে সাজালে পাই, $2y = x - 10 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x - 5$
এর ঢাল, $m_1 = \frac{1}{2}$ (অথবা সরাসরি সূত্র $-\frac{x-\text{এর সহগ}}{y-\text{এর সহগ}} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$)

দ্বিতীয় সরলরেখা: $2x + y - 3 = 0$
এর ঢাল, $m_2 = -\frac{2}{1} = -2$

ঢালদ্বয়ের গুণফল = $m_1 \times m_2 = \frac{1}{2} \times (-2) = -1$

প্রদত্ত অনুক্রমটি লক্ষ্য করলে দেখা যায় এটি পূর্ণবর্গ সংখ্যার একটি ধারা:
$1 = 1^2$
$4 = 2^2$
$9 = 3^2$
$16 = 4^2$
$25 = 5^2$
সুতরাং, পরবর্তী সংখ্যাটি হবে ৬ষ্ঠ পদ অর্থাৎ $6^2 = 36$।

প্রদত্ত অসমতাটি হলো: $|3x - 4| \le 2$
পরমমানের সংজ্ঞা অনুযায়ী, $-2 \le 3x - 4 \le 2$
এখন সব পক্ষে $4$ যোগ করে পাই:
$-2 + 4 \le 3x \le 2 + 4$
$\Rightarrow 2 \le 3x \le 6$
এখন ৩ দ্বারা ভাগ করে পাই:
$\frac{2}{3} \le x \le 2$

প্রদত্ত সংখ্যাটি হলো $\sqrt{\frac{9}{4}}$।
আমরা জানি, $\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1.5$
যেহেতু সংখ্যাটিকে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত বা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় ($p/q$ আকারে, যেখানে $q \neq 0$), তাই এটি একটি মূলদ সংখ্যা (Rational Number)।

ধরি, গাছের উচ্চতা $h$ মিটার এবং গাছের পাদদেশ থেকে দূরত্ব $BC = 26\sqrt{3}$ মিটার। উন্নতি কোণ $\theta = 30^\circ$।
চিত্রানুযায়ী, $\tan 30^\circ = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = \frac{h}{26\sqrt{3}}$
আমরা জানি, $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$
অতএব, $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{26\sqrt{3}}$
$\Rightarrow h\sqrt{3} = 26\sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}}$ (প্রশ্নটিতে সামান্য মুদ্রণ ত্রুটি রয়েছে, সঠিক উত্তর ২৬ হবে)
সঠিক নিয়মে: $h = 26\sqrt{3} \times \tan 30^\circ = 26\sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 26$ মিটার।

দেওয়া আছে, $x + \frac{1}{x} = 2$
উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
$(x + \frac{1}{x})^2 = 2^2$
$\Rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 = 4$
$\Rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} = 2$
পুনরায় বর্গ করে পাই,
$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = 2^2$
$\Rightarrow x^4 + \frac{1}{x^4} + 2 = 4$
$\Rightarrow x^4 + \frac{1}{x^4} = 2$

ফাঁকা সেট ($\emptyset$) যেকোনো সেটেরই উপসেট। কারণ ফাঁকা সেটের কোনো উপাদান নেই, এবং সংজ্ঞানুযায়ী প্রতিটি সেটের উপসেট হিসেবে ফাঁকা সেট বিদ্যমান থাকে।

এখানে ইংরেজি বর্ণমালার ক্রমিক নম্বর (A=1, B=2, ... Z=26) ব্যবহার করা হয়েছে।

TAP শব্দের অক্ষরগুলোর অবস্থান:

T = 20, A = 1, P = 16

যোগফল = $20 + 1 + 16 = 37$ (যা মিলে গেছে)।

এখন CUP শব্দের জন্য:

C = 3, U = 21, P = 16

যোগফল = $3 + 21 + 16 = 40$