৪৯তম বিসিএস প্রিলিমিনারি পরীক্ষা (জেনারেল পার্ট)

দেওয়া আছে, ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল $6a^2 = 48$

বা, $a^2 = \frac{48}{6} = 8$

বা, বাহু $a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ মিটার

আমরা জানি, ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{3}a$

$\therefore$ কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{3} \times 2\sqrt{2} = 2\sqrt{6}$ মিটার।

বড় গোলকের ব্যাসার্ধ = $R$ হলে, বড় গোলকের আয়তন $V_1 = \frac{4}{3}\pi R^3$

ছোট গোলকের ব্যাসার্ধ $r = \frac{R}{2}$ হলে, একটি ছোট গোলকের আয়তন $V_2 = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{R}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{R^3}{8}$

ছোট গোলকের সংখ্যা = $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi \frac{R^3}{8}} = 8$ টি।

দেওয়া আছে, $\log_x 4 = -2$

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, $x^{-2} = 4$

বা, $\frac{1}{x^2} = 4$

বা, $4x^2 = 1$

বা, $x^2 = \frac{1}{4}$

$\therefore x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}$

যেহেতু লগারিদমের ভিত্তি ($x$) ঋণাত্মক বা ১ হতে পারে না, তাই $x = \frac{1}{2}$।

ধরি, দ্বিতীয় কোণটি = $x$

তাহলে, প্রথম কোণ = $\frac{x}{2}$

প্রশ্নমতে, তৃতীয় কোণ = $3 \times (\text{প্রথম কোণ} - \text{দ্বিতীয় কোণ})$ = $3 \times (x - \frac{x}{2}) = 3 \times \frac{x}{2} = \frac{3x}{2}$

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°

$\therefore \frac{x}{2} + x + \frac{3x}{2} = 180^{\circ}$

বা, $\frac{x + 2x + 3x}{2} = 180^{\circ}$

বা, $\frac{6x}{2} = 180^{\circ}$

বা, $3x = 180^{\circ}$

$\therefore x = 60^{\circ}$

ধري، সমান্তর ধারার প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$

আমরা জানি, $n$-তম পদ = $a + (n - 1)d$

৪র্থ পদ = $a + 3d$ এবং ১২তম পদ = $a + 11d$

প্রশ্নমতে, $(a + 3d) + (a + 11d) = 20$

বা, $2a + 14d = 20$

বা, $a + 7d = 10$ --- (১)

এখন, প্রথম ১৫ পদের সমষ্টি $S_{15} = \frac{15}{2} \{2a + (15 - 1)d\} = \frac{15}{2} (2a + 14d) = 15 \times (a + 7d)$

সমীকরণ (১) থেকে মান বসিয়ে পাই,

$S_{15} = 15 \times 10 = 150$

প্রদত্ত অসমতা: $x^2 + 6x - 27 < 0$

মিডল টার্ম ব্রেক করে পাই:

$x^2 + 9x - 3x - 27 < 0$

বা, $x(x + 9) - 3(x + 9) < 0$

বা, $(x + 9)(x - 3) < 0$

অসমতার নিয়ম অনুযায়ী, যদি $(x - a)(x - b) < 0$ হয় (যেখানে $a < b$), তবে সমাধান হবে $a < x < b$।

এখানে, $-9 < x < 3$, যা ইন্টারভাল বা ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: $(-9, 3)$।

বাক্সে মোট বল রয়েছে:

লাল = ৮টি

নীল = ৩টি

হলুদ = ২টি

সবুজ = ১টি

নিশ্চিতভাবে কমপক্ষে একটি লাল বল পাওয়ার জন্য আমাদের 'Worst Case' বা সবচেয়ে প্রতিকূল পরিস্থিতি বিবেচনা করতে হবে। অর্থাৎ, প্রথম দফায় যদি ভাগ্য খারাপ থাকে তবে লাল বাদে বাকী সব বল একে একে উঠে আসতে পারে।

লাল বাদে অন্যান্য বলের সংখ্যা = ৩ + ২ + ১ = ৬টি।

এই ৬টি বল তোলার পর বাক্সে আর কেবল লাল বলগুলোই থাকবে। সুতরাং, পরবর্তী অর্থাৎ ৭ম বলটি তুললে নিশ্চিতভাবেই তা লাল বল হবে।

$\therefore$ কমপক্ষে ৭টি বল তুলতে হবে।

দেওয়া আছে, $M = \{a, b, 1, 2\}$ এবং $N = \{1, 2\}$

আমাদের নির্ণয় করতে হবে $N - M$ (সেট অন্তর বা Difference of sets)।

সেট অন্তরের নিয়ম হলো, $N - M$ সেটে কেবল সেই উপাদানগুলো থাকবে যা সেট $N$-এ আছে কিন্তু সেট $M$-এ নেই।

এখানে $N$-এর উপাদান {1, 2} সবই $M$-সেটে বিদ্যমান।

$\therefore N - M = \{1, 2\} - \{a, b, 1, 2\} = \{ \} = \emptyset$ (ফাঁকা সেট)।

প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:

(1) $ax + by = a^2$

(2) $bx - ay = ab$

সমীকরণ (1)-কে $a$ দ্বারা এবং সমীকরণ (2)-কে $b$ দ্বারা গুণ করে যোগ করি:

$a(ax + by) = a^3 \implies a^2x + aby = a^3$

$b(bx - ay) = b(ab) \implies b^2x - aby = ab^2$

যোগ করে পাই: $a^2x + b^2x = a^3 + ab^2$

বা, $x(a^2 + b^2) = a(a^2 + b^2)$

$\therefore x = a$

এখন $x = a$ এর মান সমীকরণ (1)-এ বসাই:

$a(a) + by = a^2$

বা, $a^2 + by = a^2$

বা, $by = 0$

$\therefore y = 0$

সমাধান $(x, y) = (a, 0)$।

ধরি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$-তম পদ = $ar^{n-1}$

পঞ্চম পদ = $ar^{5-1} = ar^4 = 32$ --- (১)

অষ্টম পদ = $ar^{8-1} = ar^7 = 256$ --- (২)

এখন, সমীকরণ (২)-কে সমীকরণ (১) দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{ar^7}{ar^4} = \frac{256}{32}$

বা, $r^3 = 8$

বা, $r^3 = 2^3$

$\therefore r = 2$

গুলির সাপেক্ষে ট্রেনের বেগকে আপেক্ষিক বেগ হিসেবে ধরতে হবে। বন্দুকের গুলির বেগ $200$ ফুট/সেকেন্ড এবং ট্রেনের বেগ $100$ ফুট/সেকেন্ড। সুতরাং, ট্রেনের সাপেক্ষে গুলির আপেক্ষিক বেগ $= 200 - 100 = 100$ ফুট/সেকেন্ড।

স্তম্ভের দূরত্ব $300$ ফুট। আঘাত করতে সময় লাগবে $= \frac{\text{দূরত্ব}}{\text{বেগ}} = \frac{300}{100} = ৩$ সেকেন্ড।

আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গুণফল = (সংখ্যা দুটির লসাগু $\times$ গসাগু)।

এখানে লসাগু $= 4x^3 + 12x^2 - 16x - 48 = 4(x^3 + 3x^2 - 4x - 12) = 4(x+2)(x-2)(x+3)$ (উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে)।

গসাগু $= 2x + 4 = 2(x+2)$

প্রথম সংখ্যা $= 4x^2 + 20x + 24 = 4(x^2 + 5x + 6) = 4(x+2)(x+3)$

সুতরাং, অপর সংখ্যা $= \frac{\text{লসাগু} \times \text{গসাগু}}{\text{প্রথম সংখ্যা}} = \frac{4(x+2)(x-2)(x+3) \times 2(x+2)}{4(x+2)(x+3)} = 2(x^2 - 4)$

যদি গতকাল শুক্রবার হয়, তবে আজ হলো শনিবার।

আজ থেকে ৮১তম দিন কি বার হবে তা বের করতে ৮১ কে ৭ দ্বারা ভাগ করতে হবে (যেহেতু ৭ দিনে এক সপ্তাহ):

$81 \div 7 = 11$ বার ভাগ মিলে এবং ভাগশেষ থাকে $1$ ($81 = 7 \times 11 + 4$, এখানে ভাগশেষ $81 \pmod 7 = 4$)।

আজ শনিবার হলে, তার সাথে ৪ দিন যোগ করতে হবে: রবিবার (১ম), সোমবার (২য়), মঙ্গলবার (৩য়), বুধবার (৪র্থ)।

ধারাসমূহ লক্ষ করি:

প্রথম পদ $= ১$

দ্বিতীয় পদ $= \sqrt{৯} = ৩$

তৃতীয় পদ $= ৫$

চতুর্থ পদ $= \sqrt{৪৯} = ৭$

এখানে রুটযুক্ত সংখ্যাগুলোকে সরল করলে ধারাটি দাঁড়ায়: $1, 3, 5, 7, ...$ যা একটি বিজোড় সংখ্যার ধারা।

তাহলে পরবর্তী সংখ্যাটি হবে $\sqrt{৮১} = ৯$ (বা আগের বিজোড় সংখ্যাগুলোর পর পরবর্তী বিজোড় সংখ্যাটি হবে ৯)।

প্রশ্নানুসারে, ১ জন লোক ১টি কলা খেতে সময় নেয় ১ মিনিট।

এর অর্থ হলো ওই লোকটি ১ মিনিটে ১টি কলা খায়। এখন ৫ জন লোক যদি একসাথে ৫টি কলা খাওয়া শুরু করে, তবে প্রত্যেকে নিজ নিজ ১টি করে কলা ১ মিনিটেই শেষ করতে পারবে।

অতএব, ৫ জন লোকের ৫টি কলা খেতেও ১ মিনিট সময় লাগবে।

ধরি, বইটির ক্রয়মূল্য $= ১০০$ টাকা।

১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য $= ১০০ - ১০ = ৯০$ টাকা।

৫% লাভে বিক্রয়মূল্য $= ১০০ + ৫ = ১০৫$ টাকা।

বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য $= ১০৫ - ৯০ = ১৫$ টাকা।

বিক্রয়মূল্য ১৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা।

বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য $\frac{১০০}{১৫}$ টাকা।

বিক্রয়মূল্য ৬০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য $\frac{১০০ \times ৬০}{১৫} = ৪০০$ টাকা।

যান্ত্রিক গিয়ারের নীতি অনুযায়ী, ছোট চাকার পরিধি কম থাকায় বড় চাকার তুলনায় ছোট চাকাটি বেশি দ্রুত বা জোরে ঘোরে। বড় চাকা একবার ঘুরলে ছোট চাকাটি তার ব্যাসার্ধের অনুপাতে একাধিকবার ঘুরে যায়।

ধরি, স্কেলের মোট দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার। পেরেকটি স্কেলের এক প্রান্ত থেকে $৩ : ২$ অনুপাতে লাগানো আছে।

অর্থাৎ, পেরেকটি এক প্রান্ত থেকে $\frac{৩}{৩+২} \times ১৫ = ৯$ মিটার দূরে এবং অপর প্রান্ত থেকে $\frac{২}{৫} \times ১৫ = ৬$ মিটার দূরে অবস্থিত। এটিই মূলত লিভারের ফুলক্রাম বা আধার বিন্দু।

লিভারের ভ্রামক সূত্রের ক্ষেত্রে: $\text{বল} \times \text{দূরত্ব} = \text{বিপরীত বল} \times \text{বিপরীত দূরত্ব}$

১ম প্রান্তের ওজন $\times$ ১ম প্রান্তের দূরত্ব $=$ ২য় প্রান্তের ওজন $\times$ ২য় প্রান্তের দূরত্ব

বা, $১০ \times ৯ = \text{ওজন} \times ৬$

বা, \text{ওজন} $= \frac{৯০}{৬} = ১৫$ কেজি।

১ম থলিতে মোট বল $= ৩ + ২ = ৫$ টি (সবুজ ৩টি, লাল ২টি)। ১ম থলি থেকে সবুজ বল তোলার সম্ভাবনা $= \frac{৩}{৫}$।

২য় থলিতে মোট বল $= ২ + ৫ = ৭$ টি (সবুজ ২টি, লাল ৫টি)। ২য় থলি থেকে সবুজ বল তোলার সম্ভাবনা $= \frac{২}{৭}$।

উভয় থলি থেকে একটি করে বল তুললে অন্তত একটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা $= ۱ - $ (কোনো থলি থেকেই সবুজ বল না পাওয়ার সম্ভাবনা)।

কোনো থলি থেকেই সবুজ না পাওয়ার (অর্থাৎ দুটিই লাল পাওয়ার) সম্ভাবনা $= ($১ম থলি থেকে লাল পাওয়ার সম্ভাবনা$) \times ($২য় থলি থেকে লাল পাওয়ার সম্ভাবনা$)$

$= \frac{২}{৫} \times \frac{৫}{৭} = \frac{২}{৭}$

অতএব, অন্তত একটি সবুজ বল পাওয়ার সম্ভাবনা $= ۱ - \frac{২}{৭} = \frac{৫}{৭}$।

ΔPQR এ $\angle Q = ৯০^\circ$ এবং ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $= ১৮০^\circ$।

সুতরাং, $\angle P + \angle R = ১৮০^\circ - ৯০^\circ = ৯০^\circ$।

দেওয়া আছে, $\angle P = ২ \angle R$। মান বসিয়ে পাই:

$২ \angle R + \angle R = ৯০^\circ$

বা, $৩ \angle R = ৯০^\circ \implies \angle R = ৩০^\circ$।

তাহলে, $\angle P = ২ \times ৩০^\circ = ৬০^\circ$।

ত্রিকোণমিতির সূত্রানুযায়ী, $৩০^\circ$ কোণের বিপরীত বাহু অতিভুজের অর্ধেক হয়। এখানে $\angle R = ৩০^\circ$ এর বিপরীত বাহু হলো $PQ$ এবং অতিভুজ হলো $PR$।

সুতরাং, $PQ = \frac{১}{২} PR \implies PR = ২PQ$।