চাকরির পরীক্ষার প্রশ্ন সমাধান

প্রদত্ত জ্যামিতিক চিত্রে ত্রিভুজ গণনার ক্ষেত্রে ছোট একক ত্রিভুজগুলোকে চিহ্নিত করে একত্রিত করতে হয়। চিত্রটিতে মোট ৫টি ত্রিভুজ রয়েছে।

তিনটি বিন্দু সমরেখ হওয়ার শর্ত হলো বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে অথবা এদের দ্বারা উৎপন্ন রেখাগুলোর ঢাল সমান হবে।

বিন্দু তিনটি $A(1, -1), B(2, 2)$ এবং $C(4, t)$।

ক্ষেত্রফল শূন্য ধরে পাই:

$\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$

$\Rightarrow 1(2 - t) + 2(t - (-1)) + 4(-1 - 2) = 0$

$\Rightarrow 2 - t + 2t + 2 - 12 = 0$

$\Rightarrow t - 8 = 0 \Rightarrow t = 8$

চিত্র বিশ্লেষণ করে জ্যামিতিক উপপাদ্য বা পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে BC বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়। প্রদত্ত অপশনগুলোর সঠিক মান হলো ৯ মিটার।

ΔPQR এ $\angle Q = ৯০^\circ$ এবং ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $= ১৮০^\circ$।

সুতরাং, $\angle P + \angle R = ১৮০^\circ - ৯০^\circ = ৯০^\circ$।

দেওয়া আছে, $\angle P = ২ \angle R$। মান বসিয়ে পাই:

$২ \angle R + \angle R = ৯০^\circ$

বা, $৩ \angle R = ৯০^\circ \implies \angle R = ৩০^\circ$।

তাহলে, $\angle P = ২ \times ৩০^\circ = ৬০^\circ$।

ত্রিকোণমিতির সূত্রানুযায়ী, $৩০^\circ$ কোণের বিপরীত বাহু অতিভুজের অর্ধেক হয়। এখানে $\angle R = ৩০^\circ$ এর বিপরীত বাহু হলো $PQ$ এবং অতিভুজ হলো $PR$।

সুতরাং, $PQ = \frac{১}{২} PR \implies PR = ২PQ$।

১ম থলিতে মোট বল $= ৩ + ২ = ৫$ টি (সবুজ ৩টি, লাল ২টি)। ১ম থলি থেকে সবুজ বল তোলার সম্ভাবনা $= \frac{৩}{৫}$।

২য় থলিতে মোট বল $= ২ + ৫ = ৭$ টি (সবুজ ২টি, লাল ৫টি)। ২য় থলি থেকে সবুজ বল তোলার সম্ভাবনা $= \frac{২}{৭}$।

উভয় থলি থেকে একটি করে বল তুললে অন্তত একটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা $= ۱ - $ (কোনো থলি থেকেই সবুজ বল না পাওয়ার সম্ভাবনা)।

কোনো থলি থেকেই সবুজ না পাওয়ার (অর্থাৎ দুটিই লাল পাওয়ার) সম্ভাবনা $= ($১ম থলি থেকে লাল পাওয়ার সম্ভাবনা$) \times ($২য় থলি থেকে লাল পাওয়ার সম্ভাবনা$)$

$= \frac{২}{৫} \times \frac{৫}{৭} = \frac{২}{৭}$

অতএব, অন্তত একটি সবুজ বল পাওয়ার সম্ভাবনা $= ۱ - \frac{২}{৭} = \frac{৫}{৭}$।

ধরি, স্কেলের মোট দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার। পেরেকটি স্কেলের এক প্রান্ত থেকে $৩ : ২$ অনুপাতে লাগানো আছে।

অর্থাৎ, পেরেকটি এক প্রান্ত থেকে $\frac{৩}{৩+২} \times ১৫ = ৯$ মিটার দূরে এবং অপর প্রান্ত থেকে $\frac{২}{৫} \times ১৫ = ৬$ মিটার দূরে অবস্থিত। এটিই মূলত লিভারের ফুলক্রাম বা আধার বিন্দু।

লিভারের ভ্রামক সূত্রের ক্ষেত্রে: $\text{বল} \times \text{দূরত্ব} = \text{বিপরীত বল} \times \text{বিপরীত দূরত্ব}$

১ম প্রান্তের ওজন $\times$ ১ম প্রান্তের দূরত্ব $=$ ২য় প্রান্তের ওজন $\times$ ২য় প্রান্তের দূরত্ব

বা, $১০ \times ৯ = \text{ওজন} \times ৬$

বা, \text{ওজন} $= \frac{৯০}{৬} = ১৫$ কেজি।

যান্ত্রিক গিয়ারের নীতি অনুযায়ী, ছোট চাকার পরিধি কম থাকায় বড় চাকার তুলনায় ছোট চাকাটি বেশি দ্রুত বা জোরে ঘোরে। বড় চাকা একবার ঘুরলে ছোট চাকাটি তার ব্যাসার্ধের অনুপাতে একাধিকবার ঘুরে যায়।

ধরি, বইটির ক্রয়মূল্য $= ১০০$ টাকা।

১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য $= ১০০ - ১০ = ৯০$ টাকা।

৫% লাভে বিক্রয়মূল্য $= ১০০ + ৫ = ১০৫$ টাকা।

বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য $= ১০৫ - ৯০ = ১৫$ টাকা।

বিক্রয়মূল্য ১৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা।

বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য $\frac{১০০}{১৫}$ টাকা।

বিক্রয়মূল্য ৬০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য $\frac{১০০ \times ৬০}{১৫} = ৪০০$ টাকা।

প্রশ্নানুসারে, ১ জন লোক ১টি কলা খেতে সময় নেয় ১ মিনিট।

এর অর্থ হলো ওই লোকটি ১ মিনিটে ১টি কলা খায়। এখন ৫ জন লোক যদি একসাথে ৫টি কলা খাওয়া শুরু করে, তবে প্রত্যেকে নিজ নিজ ১টি করে কলা ১ মিনিটেই শেষ করতে পারবে।

অতএব, ৫ জন লোকের ৫টি কলা খেতেও ১ মিনিট সময় লাগবে।

ধারাসমূহ লক্ষ করি:

প্রথম পদ $= ১$

দ্বিতীয় পদ $= \sqrt{৯} = ৩$

তৃতীয় পদ $= ৫$

চতুর্থ পদ $= \sqrt{৪৯} = ৭$

এখানে রুটযুক্ত সংখ্যাগুলোকে সরল করলে ধারাটি দাঁড়ায়: $1, 3, 5, 7, ...$ যা একটি বিজোড় সংখ্যার ধারা।

তাহলে পরবর্তী সংখ্যাটি হবে $\sqrt{৮১} = ৯$ (বা আগের বিজোড় সংখ্যাগুলোর পর পরবর্তী বিজোড় সংখ্যাটি হবে ৯)।

যদি গতকাল শুক্রবার হয়, তবে আজ হলো শনিবার।

আজ থেকে ৮১তম দিন কি বার হবে তা বের করতে ৮১ কে ৭ দ্বারা ভাগ করতে হবে (যেহেতু ৭ দিনে এক সপ্তাহ):

$81 \div 7 = 11$ বার ভাগ মিলে এবং ভাগশেষ থাকে $1$ ($81 = 7 \times 11 + 4$, এখানে ভাগশেষ $81 \pmod 7 = 4$)।

আজ শনিবার হলে, তার সাথে ৪ দিন যোগ করতে হবে: রবিবার (১ম), সোমবার (২য়), মঙ্গলবার (৩য়), বুধবার (৪র্থ)।

আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গুণফল = (সংখ্যা দুটির লসাগু $\times$ গসাগু)।

এখানে লসাগু $= 4x^3 + 12x^2 - 16x - 48 = 4(x^3 + 3x^2 - 4x - 12) = 4(x+2)(x-2)(x+3)$ (উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে)।

গসাগু $= 2x + 4 = 2(x+2)$

প্রথম সংখ্যা $= 4x^2 + 20x + 24 = 4(x^2 + 5x + 6) = 4(x+2)(x+3)$

সুতরাং, অপর সংখ্যা $= \frac{\text{লসাগু} \times \text{গসাগু}}{\text{প্রথম সংখ্যা}} = \frac{4(x+2)(x-2)(x+3) \times 2(x+2)}{4(x+2)(x+3)} = 2(x^2 - 4)$